Подскажите , пожалуйста, если сейчас начну процедуру получения гражданства Армении, могу приложить загранпаспорт, срок действия которого кончается в конце следующего года, или лучше сначала получить новый?

Можете

Мы оформляли загранники РФ как в России, так и в консульствах за год и даже более до окончания срока действующих. Всегда указывали, что оформляем их "В ДОПОЛНЕНИЕ К ИМЕЮЩИМСЯ" и сроки их действия всегда были без привязки к сроку уже имеющихся, т.е. - на 5 или 10 лет (в зависимости от вида оформляемого паспорта). Поняли, что лучше иметь всегда в "запасе" еще один загранник чтобы была возможность выехать, если один из них находится например на оформлении визы.