Скажите, в страховку автомобиля автогражданскую в Грузии обязательно вписывать ли водителя ( если водитель отличается от собственника)?

Она выписывается на автомобиль, не на водителей. Если вы имеете в виду осаго для туристов.

Её могут проверить патруль из своего автомобиля, насколько я знаю. Даже не ставя вас в известность.