Скажите, могут ли одобрить такой кейс: поездом до Минска, а оттуда самолётом до Стамбула и дальше в Будапешт?

Норм план, но я не понимаю - почему аэропорт в Минске не закроют,

Норм. Консула интересует шенгенская часть маршрута, в основном. А так мало ли, какие у вас личные причины быть в Минске