Подскажите, пожалуйста, есть ли проблемы в Японии с обменом долларов старого образца 1993-96 г.?

Есть. Лучше сразу в аэропорту искать где обменять. В городе или не примут, или по курсу хуже будет.

С долларами от 2006 года обычно проблем нет

Купите франки. Они красивые, курс лишь чуть-чуть хуже доллара (но лучше евро) и нет проблем с купюрами старого образца.