Может кто-то сталкивался и может подсказать,как я могу доехать до Цон (Центр Обслуживания Населения) г. Шымкента?

Из Ташкента?

До Шымкента можно на Яндекс такси из Ташкента до Пограничного таможенного поста Навои, перейти пешком границу, взять такси до Шымкента - там куча таксистов стоит у границы, место в салоне или всю машину. Место стоит около 3000 тенге или чуть больше. В Шымкенте может эта же машина вас подбросить за доп оплату или на месте такси взять до Цон, можно через Яндекс.