В какую страну Шенгена быстрее всего можно записаться и быстрее получить визу? Франция, я так понимаю, на июнь будет запись только?

Смотрите в сторону Италии. Там со слотами попроще. Франция, да, самостоятельно ловить уже только на июнь в начале апреля.

В Венгрию быстро да, но там кроме выкупленных билетов и отелей, нужно подавать реальный маршрут. Они отслеживают свои визы. Просто получить их визу и улететь во Францию-не получится.