Могут ли возникнуть вопросы у банка или еще хуже – у налоговой, если я пополню свой счет в банке на $10. 000 из наличных?

Что значит официальное разрешение? Вы их при въезде в Грузию декларировали? На всякий случай под рукой держите условную форму 2 НДФЛ в остальном проблем быть не должно. Вы а Грузии как турист? Имейте в виду некий гипотетический риск, что могут там я не знаю счёт заблокировать, не сейчас, но со временем и тп

ну пруфы на деньги банк всегда может запросить, налом или переводом, тут нет гарантий, осбенно в первые разы.