Подскажите, я прилетела в Грузию транзитом из России по РФ паспорту, при вылете дала Украинский чтобы без визы прилететь на Кипр.

Первый вопрос для пограничника на Кипре это ваши основания для прохождения границы, они у вас есть. Второй вопрос это на что вы будете здесь жить, может попросить показать наличные или приложение банка с деньгами и показать обратный билет на вылет с Кипра. А уж на каком основании вы покинули чужую страну это их меньше всего интересует

Можно, рос паспортом если попытаетесь заехать, то вам нужна виза. В крайнем случае вы , если запросят, сможете показать рос паспорт. И вам при этом нужна сказать что у вас двоичная гражданство