Подскажите, в какое время и с какой периодичностью разумно проверять сайт BLS, чтобы поймать слот на подачу документов на визу в Португалию в Москве для получения туристической визы?

Открывают в 20х числах на следующий месяц. В январе было 27го,в феврале 24го - на март соответственно.

После 20го числа каждого мес проверяйте по несколько раз в день. Еше можно глянуть bls Ростов, там почти всегда есть места.

Если потуристить, то конечно не важно какой шенген, если по делу присмотреться то лучше Португальским озадачится.