Подскажите, кету в Корею нужно печатать? Или можно просто прям регистрации показать экран?

Корейцам она не нужна, у них все в базе есть. Максимум в аэропорту вылета могут попросить показать

Добрый вечер! В Корее её и так видят, у Вас её спросят при вылете из России, у меня так было, и в Китае. Из моего опыта, в Китае было достаточно показать в электронном виде в телефоне, в России - при вылете спросили, у меня была распечатанная версия, показала, они сделали фото и пожелали счастливого пути.

Лучше распечатать. Часто спрашивают в аэропорту вылета.