Подскажите, обязательна ли процедура, купленного авто в Японии, постановки на учет авто со снятием в Монголии, чтобы потом выехать в Кяхту и там растаможить?

Нет

Это нужно смотреть по документам, если авто ввезено в Монголию, то необходимо сначала таможить в Монголии, а потом в России (то есть 2 раза), а можно завезти транзитом через Монголию, растомаживая только в России. Тоесть смотря как и для чего авто покупали в Японии