А не подскажете, со страховкой от Альфы пустят в Италию? Или нужна обязательно страховка иностранного банка?

Если Альфа-банк предоставляет покрытие страховых случаев в ЕС то пустят без проблем. Страховка в первую очередь нужна вам, а не Италии.

Некоторые страны ЕС сейчас требуют страховку только ЕС компаний.