Планирую переезд о Вьетнам из Монголии с собакой. У собаки документы русские. Можете накидать общий план что делать и куда идти для подготовки выезда. Хотелось бы в салон её, но понимаю что не всегда это возможно.

В салон или нет зависит

от размера собаки, а также от конкретной авиакомпании. Уточняйте эти условия, в зависимости от того кем летите. По прилету во Вьетнам никаких особых документов и разрешений не нужно. Титры не нужны. Пакет документов стандартный: чип, паспорт с обязательными прививками. Для вылета международный сертификат (процесс оформления непосредственно в Монголии не знаю).