Может ли гражданин Казахстана улететь с Минска в Казахстан по удостоверению Казахстана (не загран паспорт)?

Личного опыта нет. Судя по данным из сети, нет. Только паспорт со сроком годности не менее 6 мес.

Нельзя, только загранпаспорт

Нет. Можно обратиться в консульство РК в Белоруссии, запросить там Свидетельство на возвращение, и тогда по ID РК + Свидетельству можно пересекать границу.

Из РФ точно можно, но если хотите именно из Минска - позвоните в справочную минского аэропорта и Вам подскажут можно или нельзя.