Подскажите, при закончившейся визе для нахождения в РФ, обязательно пересекать границу и делать визу повторно в Эстонии, чтобы снова поехать в РФ? Другими словами, можно ли продлить визу в консульстве в России не выезжая?

Да.

Надо выехать и сделать новую.

Нет продлений и нет повторных получений на месте. 🤷

Внутри страны можно только продлить по мед.показаниям (например в больнице), если человек не может покинуть страну.

Да, и занимается этими вопросами не консульство, а отделы ГУВМ МВД.

Нужно смотреть какая у вас виза если рабочая или учебная, то можно продлить прибывая в России. Если туристическая допустим и имеются основания: болезнь, форс-мажор, необходимость завершить дела, то тоже продление возможно.

На самом деле с этим вопросом вам стоит подойти в отдел МВД по месту регистрации и уточнить, вам точно подскажут нужно вам выехать и продлить вне России или можно на месте решить вопрос. Главное чтобы в момент прибывания и посещения их у вас ещё виза не закончилась, а то точно будут проблемы.