Если в Турции осталось 10 дней безвиза - не поздно подать заявку на ВНЖ? При условии, что страховку тоже ещё не сделала.

Заявку нужно подать в течение срока легального пребывания.

В вашем случае это в течение безвизового срока.

Не советую тянуть до последнего дня: система может дать сбой и ваша заявка станет недействительной.

Страховку можно и позже купить.