Доброй ночи! Подскажите, что делают когда есть ВНЖ и хочется по-путешествовать по Сербии? Пожить по неделе в разных городах.

Там не 3 дня, а 15 вроде было, посмотрите сам Закон о странцах. Три дня - это уведомление о смене постоянного места жительства (станованье), к которому идет адресная привязка боравка, на адреса краткосрочного пребывания это не распространяется

С боравком принимающая сторона вас временно регистрирует (как обычного туриста). А вот если куда поехали на 15 дней и больше, уже надо идти в МУП и менять становање