Кто из РФ выезжал, не было ли вопросов, с какой целью, раз с питомцем? Одну меня не спрашивали, но лучше перестраховаться) стоит ли обратный билет на всякий купить?

Ну так вы не показывайте таможенникам питомца

А что значит перестраховаться? Лечу на отдых, по работе, пожить какое-то время в другой стране, на ПМЖ, на лечение и т.д. Любой ответ, не противоречащий закону. И можно лететь хоть с котом, хоть с кроликом.