Скажите, сейчас в связи с безвизом ставят какие-то штампы в паспорт или без отметок ? Заполняется ли какая -нибудь карточка по прибытию ?

Заполняется карточка по прибытию, штампы ставятся (они никак не связаны с визой - это отметки о пересечении границы)

Ставят штам в паспорте, и миграционная карта заполняется при прилете.