Подскажите, как негражданам РФ оформить на себя телефонную карту российского оператора в Эстонии?

Вам нужен паспорт и его нотперевод (у российского нотариальное переводчика или у зарубежного с апостилем, лучше первый вариант), дальше зависит от города.

В среднем - идёте в мфц, вам делают снилс, потом идёте в банк, с вас снимают билметрию, потом идёте к оператору и заключаете договор.

В разных городах маршруты могут немного отличаться (мфц или сфр или специальные филиалы мфц как было в Питере)