У нас скоро вылет, билет куплен и на кошку, скажите, что будет, если ее переноска не входит в габариты бесплатной ручной клади, но сама переноска мягкая?

Ручная кладь это ручная кладь, а к переноске отдельное требование у авиакомпаний.

В сумме больше 158? Забракуют переноску. Вообще, если вы не выкупали отдельное место, главное, чтобы переноска помещалась под кресло впереди.

Мне пришлось оставить нормальную переноску и запихать бедного кота в маленькую

Так для переносок у каждого авиаперевозчика свои параметры, они не такие же как у ручной клади. Смотрите по авиакомпании, какие размеры они допускают, чтобы не было потом проблем на регистрации