Мы останавливаемся в Черногории в отеле, читала в инете, что отель сам обязан нас зарегистрировать, скажите пожалуйста, это так?

Должны - да. Зарегистрируют ли - неизвестно.

Должны то должны. Но как говорится не обязаны)). Налоги платить не хотят. Так что лучше им напомнить) если в БиГ например хотите поехать.

Нас без проблем зарегистрировал хозяин апартаментов. Взял паспорта, через пару часов написал, что можно забирать.

Штраф для нерегистрирующего хозяина апартаментов 100€(если он первый раз нарушает).Штраф для отеля(до 3.000€).

Отели обычно не рискуют и законопослушны. Я бы не волновался на Вашем месте