На улицах Венгрии полиция может проверить паспорт? Насколько это тут распространено. Просто постоянно носить с собой паспорт не всегда удобно и есть риск его потерять.

Может. А может и нет. Вообще, человек, который за границей, должен всегда при себе иметь документы. Дома хоть нагишом ходить

Год жила в Будапеште, ни разу не останавливали. Но боюсь сказать, что можете не брать, так как никто не застрахован