Подскажите, пожалуйста, если действующие рвп до 8 числа, если при смене работы подать на новое рвп в этот же день, могут ли возникнуть проблемы?

Могут. Вообще в самом цоне рекомендуют за две недели подавать.

Что-нибудь не так напишете, ошибку сделаете и может быть отказ, а если отказ, то это просрочка...