Когда оформляешь второй загран в Тбилиси, забирают ли первый паспорт или он остаётся на руках?

Не забирают, он продолжает действовать до даты окончания.

Нет не забирают . При заполнении доков на подачу пишите ( отметку ставите) в дополнение к имеющемуся

когда получаете, указываете "второй" или "на замену"