Имею годовой мультишенген венгерский. Но так и не использовал. Можно ли продлить? Готов все пошлины оплатить, разумеется. Или получать заново?

да.

необязательно снова будет годовым

"Продляла" визы только Италия в период после пандемии при условии, что итальянская виза была последней в паспорте. Достаточно было принести паспорт, анкету и оплатить пошлину. Даже билеты не требовали. Это было после пандемии. Но больше я о таких аттракционах невиданной щедрости не слышала :)

Их интерес не в том, чтобы с вас 90 евро брать, а чтобы вы приехали как турист и потратили в стране совсем уже другие деньги. Неиспользование прошлой визы не должно иметь проблем. Можно сопроводить анкету письмом с пояснениями, почему так вышло (прям на русском).

Работодателя указывать обязательно. Без него вы - безработный=потенциальный нелегал.

И продлевать вы ничего не будете. Это будет заявка на получение новой визы. Какой она будет (срок, мульти), зависит он настроения консула.