Подскажите, а можно ли получить туристическую визу Австрии или другой страны ЕС, находясь в Австрии на рабочем проекте по ВНЖ до начала апреля?

в теории наверное возможно, вам нужно подаваться в австрии на визу в другую страну, но скорее всего нужно будет выехать из шенгена и снова вьехать уже по визе

На основание поиска работы можете попробовать запросить продление ВНЖ