Если внутри ЕС нет границ, то как в консульстве могут узнать , что я из Италии решила съездить во Францию? Или ещё куда то внутри ЕС??

Границ нет, проверки документов есть. Многие страны пытаются контролировать поток нелегальных мигрантов. Но эти проверки не относятся к контролю передвижений тех, кто легально находится на территории шенгена. Так что ответ на ваш вопрос - никак.

Захотят- узнают.

Например при заселении в отель или апартаменты вас должны зарегистрировать в полиции.

Старайтесь исходить изначально из принципа соблюдения законов. Чем гадать насколько глубоко и серьезно следят за их нарушениями.

Так проще.