Скажите, если снимать апартаменты в Белграде, может быть, что хозяин не зарегистрирует гостя и при прохождении паспортного контроля, штраф какой-то сделают?

Если вы как турист, у вас должна сохраниться официальная бронь (букинг и из проч сервисов). Тогда ее покажете, если спросят, и далее с хозами уже разбираться будут.