Я извиняюсь , но не понимаю старый город и бодрум центр , это разные локации ? Если разные , то до старого города как можно добраться от бодрума ?

Старый город это часть центра города рядом с крепостью, где все красивые греческие улочки. Мы по карте все нашли

Бодрум - этот названия и полуострова, и города, и района (с поселками). Бодрум-центр (Бодрум Меркез) - все у вас под боком: старый город, крепость, , порт, барные улочки и пр