А без выхода в город- это пересадка в Стамбуле? Т.е. с туркишей россия стамбул вышли и сделали пересадку на туркиш Стамбул- Белград?

Если вы ходите через Стамбул, то покупайте единый билет на оба рейса у одной компании, тогда вас в первом аэропорту зарегистрируют сразу на оба рейса и вы сможете в Стамбуле перейти с одного рейса на другой не покидая транзитную зону.

Вам с кошкой лучше не пересекать турецкую границу.