Если с ВНЖ венгрии выезжаю на несколько дней в другую страну ЕС, нужно отдельно мед. страховку покупать для той страны? Если да, годится ли тур страховка, оформленная в России?

Можно и так, и так. Смотря куда едете, может российская по шустрее будет работать... Смотря куда. А может и наоборот, быть медленнее.

Рос.тур.страховка действует на первые 90 дней поездки (после выезда из РФ).