Скажите пожалуйста, гражданин России при получении гражданство Армении должен прописываться в Армении или нет?

Не должен.

Если человек военнообязанный, то его припишут к центральному военкомату. Как только получите паспорт и ступите на территорию России или уже находитесь на территории РФ - у вас есть 60 дней, чтобы уведомить о наличии иностранного гражданства. Это можно сделать через Госуслуги.