Если покупать билет у водителя, то можно расплатиться по карте в Минске?

нет, только наличные и мелкими купюрами

можно, но не всех маршрутах наверное. Мы ездили несколько раз, или за наличные у водителя, или в специальных аппаратах на остановках(не на всех есть), или в киосках, кажется Табак называются. И билет обязательно нужно прокомпосировать в автобусе.