Подскажите, чтобы в Казахстане оставаться 90 дней, нужно eQonaq сделать у арендодателя квартиры? Нужно ли при этом иметь договор аренды?

Не нужно

Достаточно загранпаспорта

вам, как иностранному гражданину стан ЕАЭС, находясь в РК не более 90 дней при соблюдении миграционного режима 90/180 ничего оформлять не надо,

вы просто физически и технически это не сможете сделать,если вы,в исключительных случаях,не являетесь собственником жилья в РК)

это только ответственность собственника жилого помещения, являющегося вашей принимающей стороной