Может кто-то подсказать, если я планирую путешествие с собакой на машине из России сначала в Грузию ( там будем неделю)

Не мучают. Делайте сразу до Армении с указанием транзита в Грузии

Мы месяц назад ездили из РФ на авто вообще никаких справок не делали. Грузия проверяет через раз, им главное ветпаспорта с отметками и прививках, если есть титры, то могут и их посмотреть, но специально не спрашивают. Считывают чипы, чтобы совпадали с вет паспортами. Армения вообще ничего не проверяла, из Армении когда ехали, грузины проверяют всё тоже, что и на границе с РФ.