Родила ребенка в Аргентине. Подскажите пожалуйста, ребёнку гражданство рф можно в любом консульстве оформить? Планируем после получения местных документов уехать в другую страну (не рф). Можно ли так сделать?

Да, можно.

Но у вас должен быть нотариально заверенный перевод, так как вам не сможет его заверить консул РФ в другой стране.

Бразилия, Финляндия, Латвия, Казахстан, Узбекистан, Китай, Венгрия, Кипр - навскидку кого помню у кого получилось