Как проверить штрафы РК гражданину РФ? Проверяют ли их на таможне при выезде?

Не проверяют, и таможни как таковой нет, только паспортный контроль

Зайдите в своём городе в РК в дорожную полицию и спросите у дежурного. Если штрафы есть и долг попадёт в систему до Вашего выезда, Вас просто не выпустят из РК - у погранцов будет стоять запрет на выезд.