Подскажите пожалуйста, есть ли в Казахстане какие-то правила, что не выпустят из страны, если загранпаспорт заканчивается в течение месяца?

Наоборот, быстрее отправят, ну если иностранец.

Скорее наоборот не запустят. Надо посмотреть как для РК, но для въезда во многие страны срок паспорта должен быть не менее 6 месяцев, на момент выезда обратно.