Я правильно понимаю, что если дали гражданство, то ехать без физического паспорта за пределы Финляндии я уже не могу, пока его не получу?

В пределах ЕС и не на самолёте - не вижу проблем. У вас же есть иные документы подтверждающие личность.

Henkilökortti и внж потеряли свое действие, даже внутри шенгена.

Паспорт в посольстве в Москве стоит 250 евро, поэтому, лучше, если вы его сделаете в Финляндии.

Естественно, вы можете выехать и сразу заказать посольство паспорт, пока будете в России, паспорт будет готов.