Подскажите пожалуйста, а как правильно оформить документы на вывоз из РФ собаки на пмж?

При этом мы ежегодно будем возвращаться в РФ на несколько месяцев, а потом снова уезжать. В этом случае надо при каждом въезде в Европу ( Греция) "растамаживать" собаку? мы ходим через зеленый коридор, к ветам обращались только для клинич. осмотра перед вылетом в РФ. Пока вопросов не возникало, но боюсь вдруг потом получится так - я на пмж, значит и мой "нерестаможенный" пёс на пмж, и прилетят штрафы. Или я что то неправильно поняла?