Подскажите, нужно ли в Сербии в Белграде где-то регистрироваться или платить туристический сбор, если едешь на неделю?

Вас принимающая сторона зарегистрирует. Можете уточнить у них, регистрируют или нет. (они должны, если нет, то повод найти другое жилье)

Сборы включены в стоимость аренды (у букинга об этом может быть написано)

Дополнительно платить не надо