Компания Ютэйр задержала рейс на 4 часа, в результате опаздала на рейс в Будапешт. Могу я купить новый билет в Будапешт из Еревана, но с пересадкой в Риме? Мне не аннулируют визу в Риме?

Покажете на границе билеты в Будапешт и без проблем. Плюс, если летите без выхода из транзитной зоны, первое пересечение границы будет в конечной точке отправления

Не аннулируют, если дальше летите в Будапешт. Сохраните этот посадочный талон из Рима в Будапешт для следующей подачи на венгерскую визу - с объяснениями, почему так получилось