Подскажите пожалуйста, как гражданам РФ обращаться за медицинскими услугами в Сербии, нужна ли страховка?

Страховка в первую очередь нужна для снижения цены медуслуги. Примут, как правило, и без, но по другим ценам.

ну смотрите, как это работало у меня. Вы вдруг заболели в неизвестном городе и понятия не имеете где хоть что-то медицинское, ну кроме аптеки. Звоните в колл центр страховой, а у крупных страховых обычно круглосуточно работает, либо пишите в каком-то мессенджере. От вас просят документы, номер страховки и паспорт и говорят куда подойти.

так по крайней мере в случае плохого самочувствия не надо бегать искать кто примет. Ну и плюс цена обслуживания может быть существенной.

Я не гражданин России, но думаю для вас процедура будет похожей.