Подскажите, пожалуйста, мы прилетели с сыном в Белград на 4 дня, сняли квартиру у частного лица, обязательно ли нужно заморачиваться с регистрацией в полиции?

Хозяин квартиры должен это сделать, не Вы (напомните ему и попросите прислать скан из e-Turista или выдать бумажный вариант приявы на руки)! В любом случае сохраните все данные о проживании (бронь, подтверждение оплаты и т.д.) - это поможет, если в отсутствие "белого картона" будут вопросы при выезде. Дело даже не в штрафе, а в потерянном времени и рейсе...