Если получил смс о готовности паспорта во вторник вечером, то могу ли забрать паспорт в понедельник? Не будет ли проблем с хранением паспорта? Нужно ли за это доплатить или предупредить визовый центр?

Это ничего страшного, у них еще два выходных дополнительных, завтра рабочий день, а потом только в понедельник.

В Москве в ВЦ паспорт хранится до месяца. В течение месяца в удобное для Вас время можете забрать паспорт.