Если гражданин Беларуси просрочил паспорт, будут у него проблемы с пересечением границы из России в Беларусь?

Нет

Справка на возврат домой (берётся в Посольстве), если самолётом

На поезде проедет, особенно на белорусском.

На авто, если ехать, то и не заметят «просрочку… скорей всего… там просто смотрят паспорта издали

Беларус, работал в Москве много лет и так получилось, что просрочил паспорт. Спокойно приехал на поезде сюда, получил новый паспорт и снова подался на москву