Если подал анкету на туристическую визу в Великобританию и оплатил ее сейчас, слот на биометрию попробуем поймать в июне, а сама поездка 1 сентября, то анкету не примут? Или 3 месяца только на биометрию и загрузку доков распространяется?

Да, как раз на сентябрь можете подавать с июня (биометрию проходить).

Не совсем так. 3 месяца считаются с момента оплаты анкеты, а не сдачи биометрии. То есть вам пока рано оплачивать. Но! Вы можете указать в анкете, что собираетесь ехать в конце июля. Тогда укладываетесь по срокам.