Прилетели в Будапешт по однократной визе. Можно ли поехать в Вену? Или это уже будет считаться нарушением? Проверяют ли там визу, если едешь на поезде ?

Вы остаётесь в ЕС, точнее - в Шенгенской зоне, перемещайтесь, это не нарушение визового режима.

Ряд стран - членов ЕС, но не участников Шенгенского соглашения (Кипр, Ирландия, например) - вот там могут ненароком штамп поставить. То есть его уже на вылете поставят, вплавь вряд ли туда отправитесь