Подскажите, реально ли самим без машины добраться до Черниговки с Абжуйского шоссе (Агудзера) , или только с экскурсией?

Реально, нормальная дорога

Если вы на своей машине, конечно

Городской транспорт туда не ходит.

из Сухума от рынка ходит маршрутка(которая на источники возит) в 14.00 не каждый день

На маршрутке от сухумского рынка.